“欧拉常数”重定向至此。关于其他意义，请见“欧拉常数 (消歧义)”。
提示：此条目的主题不是科学记数法。
e
{\displaystyle e}
，亦称自然常数、自然底数，或是欧拉数（Euler's number），是无理数的数学常数，以瑞士数学家欧拉命名；还有个较少见的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数，数值约是（小数点后20位， A001113）：
欧拉数
欧拉数-1
欧拉数
欧拉数+1
数表—无理数
2
{\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}
-
φ
{\displaystyle \color {blue}\varphi }
-
3
{\displaystyle \color {blue}{\sqrt {3}}}
-
5
{\displaystyle \color {blue}{\sqrt {5}}}
-
δ
S
{\displaystyle \color {blue}\delta _{S}}
-
e
{\displaystyle \color {blue}e}
-
π
{\displaystyle \color {blue}\pi }
命名名称纳皮尔常数识别种类无理数超越数发现雅各布·伯努利符号
e
{\displaystyle e}
位数数列编号 A001113性质定义
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
e
=
lim
t
→
0
(
1
+
t
)
1
t
{\displaystyle e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}}
连分数（线性表示）[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...]以此为根的多项式或函数
∫
1
x
d
t
t
=
1
{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1}
表示方式值
e
≈
{\displaystyle e\approx }
2.7182818285无穷级数
e
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
{\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}
二进制10.101101111110000101010001…[1]八进制2.557605213050535512465277…[2]十进制2.718281828459045235360287…十二进制2.8752360698219BA71971009B…[3]十六进制2.B7E151628AED2A6ABF715880…[4]六十进制2;43,5,48,52,29,48,35,6,46,19,55…
各种各样的数
基本
N
⊆
Z
⊆
Q
⊆
R
⊆
C
{\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
正数
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
正整数
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
代数数
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
复数
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整数
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
负数
R
−
{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
负整数
Z
−
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分数
单位分数
二进分数
规矩数
无理数
超越数
虚数
I
{\displaystyle \mathbb {I} }
二次无理数
艾森斯坦整数
Z
[
ω
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
延伸
二元数
四元数
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元数
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
超实数
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大实数
上超实数
双曲复数
双复数
复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
超数
超现实数
其他
质数
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
可计算数
基数
阿列夫数
同馀
整数数列
公称值
规矩数
可定义数
序数
超限数
p进数
数学常数
圆周率
π
=
3.14159265
{\displaystyle \pi =3.14159265}
…
自然对数的底
e
=
2.718281828
{\displaystyle e=2.718281828}
…
虚数单位
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
无限大
∞
{\displaystyle \infty }
查论编
e
{\displaystyle e}
是使在
x
=
0
{\displaystyle x=0}
点上
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=a^{x}}
（蓝色曲线）的导数（切线的斜率）值为1之
a
{\displaystyle a}
的唯一值。对比一下，函数
2
x
{\displaystyle 2^{x}}
（虚点曲线）和
4
x
{\displaystyle 4^{x}}
（虚线曲线）和斜率为1、y-截距为1的直线（红色）并不相切。
e
=
2.71828182845904523536
⋯
{\displaystyle e=2.71828182845904523536\cdots }
，近似值为
271801
99990
{\displaystyle {\frac {271801}{99990}}}
。
有许多的函数都和
e
{\displaystyle e}
有关：自然对数函数的底数即为
e
{\displaystyle e}
，数学中的指数函数也常是指以
e
{\displaystyle e}
为底数的指数函数。
目录
1 历史
2 定义
3 性质
4 无理数证明
4.1 反证法
4.2 二项式定理
5 已知位数
6 谐取
7 参见
8 参考文献
历史
编辑
约翰·纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表中第一次提到常数
e
{\displaystyle e}
，但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为这是由威廉·奥特雷德制作的。第一次把
e
{\displaystyle e}
看为常数的是雅各布·伯努利，他尝试计算下式的值：
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
上式代表把1与无穷小相加，再自乘无穷多次。
已知的第一次用到常数
e
{\displaystyle e}
，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以
b
{\displaystyle b}
表示。1727年欧拉开始用
e
{\displaystyle e}
来表示这常数；而
e
{\displaystyle e}
第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然往后年日有研究者用字母
c
{\displaystyle c}
表示，但
e
{\displaystyle e}
较常用，终于成为标准。
用
e
{\displaystyle e}
表示的原因确实不明，但可能因为
e
{\displaystyle e}
是指数函数（exponential）一字的首字母。另一看法则称
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
有其他经常用途，而
e
{\displaystyle e}
是第一个可用字母。
定义
编辑
就像圆周率
π
{\displaystyle \pi }
和虚数单位i，
e
{\displaystyle e}
是数学中最重要的常数之一。它有几种等价定义，下面列出一部分。
定义
e
{\displaystyle e}
为下列极限值：
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
e
=
lim
t
→
0
(
1
+
t
)
1
t
{\displaystyle e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}}
定义
e
{\displaystyle e}
为阶乘倒数之无穷级数的和[5]：
e
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
=
1
0
!
+
1
1
!
+
1
2
!
+
1
3
!
+
1
4
!
+
⋯
{\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots }
其中
n
!
{\displaystyle n!}
代表
n
{\displaystyle n}
的阶乘。
定义
e
{\displaystyle e}
为唯一的正数
x
{\displaystyle x}
使得
∫
1
x
d
t
t
=
1
{\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1}
定义
e
{\displaystyle e}
为唯一的实数
x
{\displaystyle x}
使得
lim
h
→
0
x
h
−
1
h
=
1
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1}
这些定义可证明是等价的，请参见文章指数函数的特征描述（英语：Characterizations of the exponential function）。
性质
编辑
x
x
{\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}
的极大值在
x
=
e
{\displaystyle x=e}
.
指数增长或指数衰减过程都可以用指数函数表示。指数函数
e
x
{\displaystyle e^{x}}
的重要性在于，唯独该函数（或其常数倍，即
x
↦
k
e
x
{\displaystyle x\mapsto ke^{x}}
，其中
k
{\displaystyle k}
为任意常数）与自身导数相等。即：
d
d
x
e
x
=
e
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}
。
e
x
{\displaystyle e^{x}}
的泰勒级数为
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
∀
x
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x}
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
.
.
.
{\displaystyle =1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...}
x
{\displaystyle x}
为复数时依然成立，因此根据
sin
x
{\displaystyle \sin x}
及
cos
x
{\displaystyle \cos x}
的泰勒级数，得出在数学中一条称为欧拉公式的重要等式：
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x}
当
x
=
π
{\displaystyle x=\pi }
的特例是欧拉恒等式：
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }+1=0}
此式被理查德·费曼称为“欧拉的宝石”。
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
(
e
i
x
)
n
=
e
i
n
x
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}
即棣莫弗公式。
e
{\displaystyle e}
是无理数和超越数（见林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。这是第一个获证为超越数的数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。有猜想它为正规数。
当
x
=
e
{\displaystyle x=e}
时函数
f
(
x
)
=
x
x
{\displaystyle f(x)={\sqrt[{x}]{x}}}
有最大值。
e
{\displaystyle e}
的无穷连分数展开式有个有趣的模式，可以表示如下（ A003417）
e
=
[
2
;
1
,
2
,
1
,
1
,
4
,
1
,
1
,
6
,
1
,
1
,
8
,
1
,
1
,
10
,
1
,
1
,
12
,
…
]
{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]}
就像以下的展开式：
e
=
2
+
1
1
+
1
2
+
1
1
+
1
1
+
1
4
+
1
1
+
1
1
+
1
6
+
1
1
+
⋱
{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}
无理数证明
编辑
反证法
编辑
证明
e
{\displaystyle e}
是无理数可以用反证法。假设
e
{\displaystyle e}
是有理数，则可以表示成
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
，其中
a
,
b
{\displaystyle a,b}
为正整数。以
e
{\displaystyle e}
的无穷级数展开式可以得出矛盾。
考虑数字
x
=
b
!
(
e
−
∑
i
=
0
b
1
i
!
)
{\displaystyle x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)}
，
以下将推导出
x
{\displaystyle x}
是小于1的正整数；由于不存在这样的正整数，得出矛盾，所以得证
e
{\displaystyle e}
是无理数。
x
{\displaystyle x}
是整数，因为
0
<
x
=
b
!
(
e
−
∑
i
=
0
b
1
i
!
)
=
b
!
(
a
b
−
∑
i
=
0
b
1
i
!
)
{\displaystyle 0 = a ( b − 1 ) ! − ∑ i = 0 b b ! i ! {\displaystyle =a(b-1)!-\sum _{i=0}^{b}{b! \over i!}} = a ( b − 1 ) ! − [ 1 + ∑ n = 0 b − 1 b ( b − 1 ) ⋯ ( n + 1 ) ] {\displaystyle =a(b-1)!-\left[1+\sum _{n=0}^{b-1}b(b-1)\cdots (n+1)\right]} 。 x {\displaystyle x} 是小于1的正数，因为 0 < x = b ! ∑ n = b + 1 ∞ 1 n ! {\displaystyle 0 = 1 b + 1 + 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) + 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) ( b + 3 ) + ⋯ {\displaystyle ={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots } < 1 b + 1 + 1 ( b + 1 ) 2 + 1 ( b + 1 ) 3 + ⋯ = 1 b ≤ 1 {\displaystyle <{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={1 \over b}\leq 1} 。 但是0与1之间（不含0与1）不存在有整数，故原先假设矛盾，得出 e {\displaystyle e} 为无理数。 二项式定理 编辑 视 n {\displaystyle n} 为存在的数值，所以用二项式定理可证出： e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} = lim n → ∞ ∑ i = 0 n C i n 1 n − i ( 1 n ) i {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left({\frac {1}{n}}\right)^{i}} = lim n → ∞ [ C 0 n 1 n ( 1 n ) 0 + C 1 n 1 n − 1 ( 1 n ) 1 + C 2 n 1 n − 2 ( 1 n ) 2 + C 3 n 1 n − 3 ( 1 n ) 3 + . . . + C n n 1 0 ( 1 n ) n ] {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[C_{0}^{n}1^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\right)^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+C_{3}^{n}1^{n-3}\left({\frac {1}{n}}\right)^{3}+...+C_{n}^{n}1^{0}\left({\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]} = lim n → ∞ [ 1 × 1 + n × 1 n + n ! ( n − 2 ) ! 2 ! × 1 n 2 + n ! ( n − 3 ) ! 3 ! × 1 n 3 + . . . + 1 × 1 n n ] {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[1\times 1+n\times {\frac {1}{n}}+{\frac {n!}{\left(n-2\right)!2!}}\times {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n!}{\left(n-3\right)!3!}}\times {\frac {1}{n^{3}}}+...+1\times {\frac {1}{n^{n}}}\right]} = lim n → ∞ [ 1 + 1 + n × ( n − 1 ) 2 n 2 + n × ( n − 1 ) ( n − 2 ) 3 × 2 n 3 + . . . + 1 n n ] {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[1+1+{\frac {n\times \left(n-1\right)}{2n^{2}}}+{\frac {n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}\right]} = 2 + 1 2 + 1 6 + . . . {\displaystyle =2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+...} = 2.71828... {\displaystyle =2.71828...} 已知位数 编辑 e {\displaystyle e} 的已知位数[6][7] 日期 位数 计算者 1748年 18 李昂哈德·欧拉 1853年 137 William Shanks 1871年 205 William Shanks 1884年 346 J. M. Boorman 1946年 808 ？ 1949年 2,010 约翰·冯·诺伊曼 1961年 100,265 Daniel Shanks & 约翰·威廉·伦奇 1978年 116,000 史蒂芬·盖瑞·沃兹尼克 1994年 10,000,000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell 1997年5月 18,199,978 Patrick Demichel 1997年8月 20,000,000 Birger Seifert 1997年9月 50,000,817 Patrick Demichel 1999年2月 200,000,579 Sebastian Wedeniwski 1999年10月 869,894,101 Sebastian Wedeniwski 1999年11月21日 1,250,000,000 Xavier Gourdon 2000年7月10日 2,147,483,648 近藤茂、Xavier Gourdon 2000年7月16日 3,221,225,472 Colin Martin、Xavier Gourdon 2000年8月2日 6,442,450,944 近藤茂、Xavier Gourdon 2000年8月16日 12,884,901,000 近藤茂、Xavier Gourdon 2003年8月21日 25,100,000,000 近藤茂、Xavier Gourdon 2003年9月18日 50,100,000,000 近藤茂、Xavier Gourdon 2007年4月27日 100,000,000,000 近藤茂、Steve Pagliarulo 2009年5月6日 200,000,000,000 近藤茂、Steve Pagliarulo 2010年2月21日 500,000,000,000 余智恒（Alexander J. Yee） 2010年7月5日 1,000,000,000,000 近藤茂、余智恒（Alexander J. Yee） 2014年11月15日 1,048,576,000,000 David Galilei Natale 谐取 编辑 在Google2004年的首次公开募股，集资额不是通常的整头数，而是$2,718,281,828，这当然是取最接近整数的 e {\displaystyle e} 十亿美元。Google2005年的一次公开募股中，集资额是$14,159,265，与圆周率有关。 Google也是首先在矽谷心脏地带，接著在麻萨诸塞州剑桥出现的神秘广告版 的幕后黑手，它写著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在 e {\displaystyle e} 的连续数字中第一个发现的十位质数.com）。解决了这问题（第一个 e {\displaystyle e} 中的十位质数是7427466391，出奇地到很后才出现，由第100个数字开始），进入网站后还有个更难的题目要解决，最后会到达Google的招聘页。但这个挑战已结束，上述网站都已关闭。 著名电脑科学家高德纳的软件Metafont的软体版本号趋向 e {\displaystyle e} （就是说版本号码是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的软体版本号号是趋向于圆周率的。 参见 编辑 e的π次方 无理数 超越数 欧拉数 圆周率 指数函数 自然对数 参考文献 编辑 ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A004593 (Expansion of e in base 2). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A004599 (Expansion of e in base 8). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A027606 (e in duodecimal). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A170873 (Hexadecimal expansion of e). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. ^ Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 （日语） 142.D ^ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation （页面存档备份，存于互联网档案馆） ^ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast （页面存档备份，存于互联网档案馆）